魏尔斯特拉斯将微积分的严格化更推进了一步。 柯西使用极限定义的微积分，已经将模糊的无穷小概念具体化。使用渐进的概念，将无穷小表示为变量。 而威尔斯则进一步舍弃了渐进这一动态过程。使用ε-δ语言和不等式静态描述了极限，从而静态描述了微积分。 dx从无穷小改名为微元，它的定义严格化了。
而可微和可积的条件，还没有进一步被严格化。连续与可微的关系如何？连续与可积的关系是什么？不连续的情况还能细分成一个点不连续和多个点不连续，甚至一个区间上处处不连续。这些情况下可积的条件是什么呢？
要回答这些问题，要回到连续性的定义，回到实数的基本性质。康托尔证明了一系列可数关系。比如实数闭区间实数可数，实数开区间实数不可数。超越数有无穷多个等。无理数不是有理数可数的。等等
利用这些数集之间的关系，考察某些特殊的函数，比如直尺函数，可以得到不连续函数的一些有趣性质，特别是回答它们是否可积的问题。