- 负负得正
- 贝叶斯公式的理解
- 素数定理
- 椭圆曲线
- 广义二项式展开
一切的数学归根结底要推到数论上。但是一些数论的基本原理却不见得人人明白。比如奇数的数量等于偶数等于自然数等于有理数小于无理数。 加法的交换律，结合律，乘法的交换律，结合律，分配率，这些基本定律及其推广有时并不是显而易见。 就一个简单的负负得正这条乘法运算规则，实际上可以用乘法的分配率来推出来。初学者也可能产生困惑。 何况，有时候，基本的运算规则是不适用的。比如对于无穷级数的求和，交换律和结合律就不适用。对于矩阵的乘法，交换律是不适用的。对于向量，包括点乘和叉乘，也不符合交换律。复数的指数和对数运算，需要引入相位，转化成极坐标进行运算。不能由简单的乘法推知。实际上，复数，向量，矩阵，极限，均可以看作是对数系的扩充。 对于旋转，实际上用矩阵和复数均可以描述。但因为复数的乘法满足交换律，所以复变函数微积分中用的多。计算机图像处理中，用矩阵简单些。
贝叶斯公式初看比较复杂，其实道理并不难懂。解这种概率问题，一种比较好的思路是代入一个实际的样本数值，通过分析样本数量，得到概率之间的关系。这样可能比抽象描述更容易看到结果。
素数定理是一个关于素数分布的定理。素数不能再做乘法分解，有不少神奇性质。
椭圆曲线不用提了，天体物理中，工程中，用途都非常广。几何上，抛物线是到定点和定直线距离相等的线；椭圆是到两定点距离之和相等的线。并且还是可选的线中最短的。这样的几何性质值得注意。很多时候，几何可以给代数关系带来很多启发。比如，反比例函数竟然是双曲函数逆时针旋转45度得到的。这一几何关系揭示了这两个函数图像的参数方程之间的关系。也揭示了他们之间的代数关系。双曲函数和反比例函数，本质上都还是幂函数。
广义二项式展开，其实就是二项式的幂级数展开。值得注意的是参数形式，跟组合数形式一致，这个简直太美妙了。实际上，牛顿推出了二项式展开定理，也推出了广义二项式定理。有了这个，就拓展出了微积分基本定理。